Ejemplo de Integral definida

0

∫(x³+x²+x)dx

-2


Primero se integra la función 

0

 [  x^4 +  x³  +   x² ]
-2      4        3         2

Después se sustituyen las x por los valores 0 y -2 que corresponden a la parte sombreada del lado izquierdo de la gráfica y se realiza la suma

(0) - (4 -  8   + 2)
                3
Luego convertimos los números 4 y 2 a fracciones para realizar la resta y suma

(0) - ( 12  -  8   +  6 )
           3      3      3

Después realizamos la resta y la suma de las fracciones y nos quedarían

-10 
  3


Después realizamos lo mismo pero con los valores 4 y 0 que corresponden a la parte sombreada del lado derecho en la gráfica. 

4

[    x^4 +  x³  +   x² ]

0          4        3         2

(64 + 64  + 8) - (0)
          3

Cambiamos el 64 y el 8 a fracciones

(  192  +  64  + 24  )
     3         3       3

Al realizar la suma nos da

 280 
   3

Ya que tenemos los dos resultados los sumamos

 280   + 10  =  290   u²
   3         3        3

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.



La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos 
de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración 
se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.