Integracion por fracciones parciales

La integración por fracciones parciales es más un recurso algebraico que algo nuevo
que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar una fracción, es decir a deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones da como resultado la fracción dada.

Ejemplo: Calcular 


ʃ ( x² + 2x +3) dx
       
      (x-1)  (x+1) ²


Notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego


( x² + 2x +3)   =   A    +   B    +    C     

 (x-1)  (x+1) ²      x-1      x+1      (x+1)²


Desarrollando encontramos

A=  3   ,      B= -   1        y    C=   -1

      2                    2


Se sigue

Integración por cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.


En este método tenemos que buscar los valores de u, du y dx

Por ejemplo:

ʃ cos (7x) dx

a (7x) se le llama argumento y sería el valor de u

Por lo tanto

u= 7x

du= 7dx

du = dx

 7

Entonces se hace el cambio de variable y nos quedaría de la siguiente forma:

ʃ cos u  du =   1   sen u + c

             7       7

=   1   sen 7x + c   esta sería la respuesta final

    

     7

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones.

para este metodo existe una herramienta que nos puede ayudar a resolver casi todas las integrales de este tipo esta herramienta son las siglas o iniciales "LIATE" donde:

* L= Logarítmica

* I= Inversa

* A= Algebraica

* T= Trigonométrica

* E= Exponencial 

Esto nos ayuda para encontrar el orden en que acomodaremos o dividiremos las partes es decir nos ayuda a encontrar los valores de "u", "du", "dv" y "v".

La formula para resolverlas es uv-ʃ v du

Por ejemplo:

ʃ x lnx dx=

Aqui encontramos dos funciones que son las subrayadas

ʃ x lnx dx=

En las siglas LIATE podemos observar que  la L (logarítmica) esta primero que la algebraica en este caso x es algebraica y lnx es logarítmica entonces lnx sería el valor de u.

por lo tanto

u= lnx

du= 1 dx = dx

         x        x

ʃ dv =  ʃ x dx

v = x²    

      2

ya que tenemos todos los valores los sustituimos por los de la formula y quedaría de la siguiente forma.

lnx (x² ) -  ʃ x²  dx   

       2     2  x

 x ²  lnx -  ʃ  x  dx

 2              2

x²  lnx -      x²  

2           (2) (2)

 x²  lnx -  x ² + c   Este sería el resultado final

 2            4

Integrales

Es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

¿QUIÉN FUE EL CREADOR DEL CÁLCULO INTEGRAL?

Isaac Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial.diferencial. Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, pero quien primero lo desarrollo fue Newton durante los años 1664 a 1666.Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de: La geometría analítica.Creo el Método de Fluxiones el cual son unas reglas para calcular máximos, mínimos y las tangentes (el cual no fue publicado),desarrollando un enfoque geométrico y analítico de derivadas matemáticas las cuales fueron aplicadas en curvas definidas a través de ecuaciones.
                                         
                 Isaac Newton                                                                              Leibniz

Cálculo Integral

El calculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga principalmente del estudio de las integrales.