HECHO POR: OHTLI CARRANZA ARIAS

"601"

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN

HUANIQUEO DE MORALES                                                MICH.

Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente.

Concavidad de una gráfica.

Si una función es derivable en un intervalo (a, b), se dice que la gráfica de y= f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo si f’ (x) es creciente en el mismo. Si a su vez f’ (x) es derivable también en dicho intervalo, o sea, si existe f”(x) en él, tiene que ser f”(x)> o, pues como a f’(x) lo suponemos creciente, su derivada, o sea f”(x), debe ser positiva.

 *Se halla la primera derivada    

   

 *Se halla la segunda derivada  

  

  *Se halla la tercera derivada    

   

 *Se iguala la segunda derivada a "0"  

EJERCICIO

1.-  f(x) = x³ − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2) 

Máximos y Mínimos

Los máximos o mínimos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado, ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

EJERCICIO

Derivadas

 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
                              

f(x)= UV                          f(x)= UV'+VU'

f(x)=TAN U                    f(x)=SEC^2 (U) U'

f(x)=COT U                    f(x)= -CSC^2 (U) U'

f(x)=CSC U                   f(x)= -CSC U  COT U U'

f(x)=SEC U                   f(x)= SEC U  TAN U  U'

f(x)=U/V                         f(x)= (VU'-UV')/V^2

f(x)=COS U                   f(x)= -SEN U'

f(x)=SEN U                   f(x)= COS U'

f(x)=x^n                         f(x)= nx^(n-1)

f(x)=x                             f(x)=1

f(x)=c                             f(x)=0

EJERCICIO

f(x)=3x-2  = f'(x)=(5-3x)(3)-[(3x-2)(-3)]

       5-3x                   (5-3x)²

f '(x)=15-9x-[(-9x+6)

                  (5-3x)²

f '(x)=15-9x+[9x-6]  =      f’(x)=9    

                 (5-3x)            (5-3x)²

Funciones

Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.

Función f(x)=xn

i f(x) = xn,

donde "n" es cualquier constante, entonces f'(x) = nxn-1. En otras palabras, la derivada de xn es nxn-1.

Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

                         

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Pascal.

         

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

EJERCICIOS

1.-

2.-

Límites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. 

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

PROCEDIMIENTO

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

EJEMPLOS DE EJERCICIOS

                           

                        

                            

Limites al infinito

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

Ejemplos

                                                          

                                                      

                                                          

Historia

ANTECEDENTES

Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), y sumar las áreas de estos triángulos A

Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: . 2 r A

Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intersección se traduce en raíces dobles.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. 

ORIGEN DEL CÁLCULO.

El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la “razón del momentum” al tiempo correspondiente es decir, la velocidad.

Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la cordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos , la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz. dx dy dx.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

                                 

Definición de Cálculo

     En general el termino cálculo hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular o contar. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento.

                                   

 "El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real."

Bienvenida

Este blog fue elaborado para conocer los antecedentes y origen del cálculo, sus conceptos, funciones y comprender algunos temas importantes del cálculo diferencial,en el también podemos ver algunos ejemplos de ejercicios y como resolverlos.