Ejemplo de Integral definida

0

∫(x³+x²+x)dx

-2


Primero se integra la función 

0

 [  x^4 +  x³  +   x² ]
-2      4        3         2

Después se sustituyen las x por los valores 0 y -2 que corresponden a la parte sombreada del lado izquierdo de la gráfica y se realiza la suma

(0) - (4 -  8   + 2)
                3
Luego convertimos los números 4 y 2 a fracciones para realizar la resta y suma

(0) - ( 12  -  8   +  6 )
           3      3      3

Después realizamos la resta y la suma de las fracciones y nos quedarían

-10 
  3


Después realizamos lo mismo pero con los valores 4 y 0 que corresponden a la parte sombreada del lado derecho en la gráfica. 

4

[    x^4 +  x³  +   x² ]

0          4        3         2

(64 + 64  + 8) - (0)
          3

Cambiamos el 64 y el 8 a fracciones

(  192  +  64  + 24  )
     3         3       3

Al realizar la suma nos da

 280 
   3

Ya que tenemos los dos resultados los sumamos

 280   + 10  =  290   u²
   3         3        3

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.



La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos 
de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración 
se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Integracion por fracciones parciales

La integración por fracciones parciales es más un recurso algebraico que algo nuevo
que vaya a introducirse en el curso de Cálculo Integral. Es decir, en realidad en este tema no va a aprenderse nada nuevo de Cálculo Integral, simplemente se va a echar mano del Álgebra El tema de fracciones parciales en Álgebra se refiere a desumar una fracción, es decir a deshacer una suma de fracciones; en otras palabras, se trata de encontrar la suma de qué fracciones da como resultado la fracción dada.

Ejemplo: Calcular 


ʃ ( x² + 2x +3) dx
       
      (x-1)  (x+1) ²


Notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego


( x² + 2x +3)   =   A    +   B    +    C     

 (x-1)  (x+1) ²      x-1      x+1      (x+1)²


Desarrollando encontramos

A=  3   ,      B= -   1        y    C=   -1

      2                    2


Se sigue

Integración por cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.


En este método tenemos que buscar los valores de u, du y dx

Por ejemplo:

ʃ cos (7x) dx

a (7x) se le llama argumento y sería el valor de u

Por lo tanto

u= 7x

du= 7dx

du = dx

 7

Entonces se hace el cambio de variable y nos quedaría de la siguiente forma:

ʃ cos u  du =   1   sen u + c

             7       7

=   1   sen 7x + c   esta sería la respuesta final

    

     7

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones.

para este metodo existe una herramienta que nos puede ayudar a resolver casi todas las integrales de este tipo esta herramienta son las siglas o iniciales "LIATE" donde:

* L= Logarítmica

* I= Inversa

* A= Algebraica

* T= Trigonométrica

* E= Exponencial 

Esto nos ayuda para encontrar el orden en que acomodaremos o dividiremos las partes es decir nos ayuda a encontrar los valores de "u", "du", "dv" y "v".

La formula para resolverlas es uv-ʃ v du

Por ejemplo:

ʃ x lnx dx=

Aqui encontramos dos funciones que son las subrayadas

ʃ x lnx dx=

En las siglas LIATE podemos observar que  la L (logarítmica) esta primero que la algebraica en este caso x es algebraica y lnx es logarítmica entonces lnx sería el valor de u.

por lo tanto

u= lnx

du= 1 dx = dx

         x        x

ʃ dv =  ʃ x dx

v = x²    

      2

ya que tenemos todos los valores los sustituimos por los de la formula y quedaría de la siguiente forma.

lnx (x² ) -  ʃ x²  dx   

       2     2  x

 x ²  lnx -  ʃ  x  dx

 2              2

x²  lnx -      x²  

2           (2) (2)

 x²  lnx -  x ² + c   Este sería el resultado final

 2            4

Integrales

Es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

¿QUIÉN FUE EL CREADOR DEL CÁLCULO INTEGRAL?

Isaac Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial.diferencial. Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, pero quien primero lo desarrollo fue Newton durante los años 1664 a 1666.Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de: La geometría analítica.Creo el Método de Fluxiones el cual son unas reglas para calcular máximos, mínimos y las tangentes (el cual no fue publicado),desarrollando un enfoque geométrico y analítico de derivadas matemáticas las cuales fueron aplicadas en curvas definidas a través de ecuaciones.
                                         
                 Isaac Newton                                                                              Leibniz

Cálculo Integral

El calculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga principalmente del estudio de las integrales.

   

HECHO POR: OHTLI CARRANZA ARIAS

"601"

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN

HUANIQUEO DE MORALES                                                MICH.

Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente.

Concavidad de una gráfica.

Si una función es derivable en un intervalo (a, b), se dice que la gráfica de y= f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo si f’ (x) es creciente en el mismo. Si a su vez f’ (x) es derivable también en dicho intervalo, o sea, si existe f”(x) en él, tiene que ser f”(x)> o, pues como a f’(x) lo suponemos creciente, su derivada, o sea f”(x), debe ser positiva.

 *Se halla la primera derivada    

   

 *Se halla la segunda derivada  

  

  *Se halla la tercera derivada    

   

 *Se iguala la segunda derivada a "0"  

EJERCICIO

1.-  f(x) = x³ − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2) 

Máximos y Mínimos

Los máximos o mínimos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado, ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

EJERCICIO

Derivadas

 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
                              

f(x)= UV                          f(x)= UV'+VU'

f(x)=TAN U                    f(x)=SEC^2 (U) U'

f(x)=COT U                    f(x)= -CSC^2 (U) U'

f(x)=CSC U                   f(x)= -CSC U  COT U U'

f(x)=SEC U                   f(x)= SEC U  TAN U  U'

f(x)=U/V                         f(x)= (VU'-UV')/V^2

f(x)=COS U                   f(x)= -SEN U'

f(x)=SEN U                   f(x)= COS U'

f(x)=x^n                         f(x)= nx^(n-1)

f(x)=x                             f(x)=1

f(x)=c                             f(x)=0

EJERCICIO

f(x)=3x-2  = f'(x)=(5-3x)(3)-[(3x-2)(-3)]

       5-3x                   (5-3x)²

f '(x)=15-9x-[(-9x+6)

                  (5-3x)²

f '(x)=15-9x+[9x-6]  =      f’(x)=9    

                 (5-3x)            (5-3x)²

Funciones

Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D(f) = R - {0}.

Función f(x)=xn

i f(x) = xn,

donde "n" es cualquier constante, entonces f'(x) = nxn-1. En otras palabras, la derivada de xn es nxn-1.